Mathématiques Probatoire D-MA 2026 — Cameroun

Ministère des Enseignements Secondaires Baccalauréat Blanc N01 Office du baccalauréat du Cameroun Epreuve : Mathématiques Collège Bilingue DU VAAL Série : D Session Mars 2026 Durée : 04h Coef : 4 L’épreuve est notée sur 20 et comporte deux parties A et B réparties sur deux pages. PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES/ (15,5 POINTS) EXERCICE 1/ les parties A et B sont indépendantes (05 points) A- On considère le polynôme complexe P définie par 𝑃(𝑧) = 𝑧3 − 𝑧2 + (3 + 𝑖)𝑧 − 2 + 2𝑖. 1) Vérifier que −𝑖 est une racine de P. 0,25pt 2) Déterminer les nombres complexes a et b tels que 𝑃(𝑧) = (𝑧 + 𝑖)(𝑧2 + 𝑎𝑧 + 𝑏). 0,5pt 3) Résoudre dans C l’équation 𝑃(𝑧) = 0. 0,75pt B- Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (𝑂; 𝑢⃗ ; 𝑣 ) On donne trois points A, B et C d’affixes respectives 𝑧𝐴 = 2 + 2𝑖, 𝑧𝐵 = 2 − 𝑖 𝑒𝑡 𝑧𝐶 = −1 + 2𝑖. 1) Déterminer l’ensemble (E) des points M d’affixe z tel que |𝑧 − 2 + 𝑖| = |𝑧 + 1 − 2𝑖|, puis vérifier que le point A appartient à (E). 0,75pt 2) Calculer un argument du rapport 𝑧𝐴−𝑧𝐵 𝑧𝐴−𝑧𝐶 et déduire la nature exacte du triangle ABC. 0,5pt 3) On considère la similitude direct S de centre B qui transforme le point A en C. a) Déterminer le rapport et l’angle de la similitude S. 0,50pt b) Donner l’écriture complexe de la similitude S. 0,50pt c) (C) est le cercle circonscrit au triangle ABC, déterminer les caractéristiques de (C’) image de (C) par S et construire (C) et (C’) sur le même repère. 0,75pt EXERCICE 2/ (04 points) A- Une urne contient dix boules indiscernables au toucher : cinq vertes, trois jaunes et deux rouges. On tire au hasard et simultanément trois boules de cette urne. 1) On considère les évènements : A « Les 3 boules tirées sont vertes », B « Les 3 boules tirées sont de la même couleur » et C « Les 3 boules tirées sont de couleurs deux à deux distinctes. » Calculer la probabilité de chacun des événements A, B et C. 0,75pt 2) Pascal décide de jouer à un jeu décrit comme suit : Il mise la somme de 500 FCFA et tire simultanément trois boules de cette urne. S’il obtient trois boules vertes, on lui remet le quadruple sa mise. S’il obtient deux boules vertes, on lui remet le double sa mise. Dans tout autre cas, il ne reçoit rien. Soit 𝑋 la variable aléatoire qui à chaque tirage des trois boules associe son gain algébrique. a) Déterminer la loi de probabilité de X. 0,75pt b) Calculer l’espérance mathématique de 𝑋. Ce jeu est-il favorable pour pascal, justifier. 0,75pt B- On considère les intégrales 𝐼 = ∫ 𝑒−2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 𝜋 0 et 𝐽 = ∫ 𝑒−2𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑥 𝜋 1) Calculer I+J. 0,5pt 2) A l’aide d’une intégration parties calculer I-J. 0,75pt 3) En déduire la valeur exacte de I et de J. 0,5pt EXERCICE 3/ (06,5 points) Partie A : Soit la fonction numérique 𝑔 définie sur ℝ par 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 1 − 𝑥𝑒𝑥−1 et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (𝑂, 𝑖, 𝑗). Unité graphique 2cm. 1) a) Calculer les limites de 𝑔 en −∞ et en +∞. 0,5pt b) Calculer lim 𝑥→−∞ [𝑔(𝑥) − (2𝑥 + 1)] puis interpréter le graphiquement le résultat obtenu. 0,5pt c) Etudier la position relative de (C) et la droite (D) 𝑦 = 2𝑥 + 1. 0,5pt 2) a) Calculer 𝑔′(𝑥) et 𝑔′′(𝑥) puis dresser le tableau de variation de 𝑔′. 0,75pt b) Sachant que 𝑔′(1) = 0, dresser le bableau de variation de 𝑔. 0,5pt 3) Démontrer que (C) de coupe l’axe (𝑂, 𝑖) en un unique point 𝛼 puis que 1,9 < 𝛼 < 2. 0,5pt 4) construire (C) et (D) dans le même repère. 0,75pt 5) Déterminer l’aire en 𝑐𝑚2 du domaine du plan délimitée par (C), (D), l’axe des ordonnées et la droite d’équation 𝑥 = 1. 0,5pt Partie B : Soit la fonction numérique 𝑓 définie sur 𝐼 = [1,9; 2] par 𝑓(𝑥) = 1 + ln (2 + 𝑥). 1) a) Démontrer que pour tout 𝑥 ∈ 𝐼, 𝑔(𝑥) = 0 équivaut à 𝑓(𝑥) = 𝑥. 0,25pt b) Etudier le sens de variation de 𝑓 puis démonter que pour tout 𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓(𝑥) ∈ 𝐼. 0,75pt c) Démontrer que pout tout 𝑥 ∈ 𝐼, |𝑓′(𝑥)| ≤ 9. 0,25pt 2) on considère la suite (𝑢𝑛) définie par 𝑢0 = 2 et pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑢𝑛+1 = 𝑓(𝑢𝑛) et 𝑢𝑛 ∈ 𝐼. a) Démontrer que pour tout 𝑛 ∈ ℕ, |𝑢𝑛+1 − 𝛼| ≤ 9 |𝑢𝑛 − 𝛼|. 0,25pt b) Déduire que pour tout 𝑛 ∈ ℕ, |𝑢𝑛 − 𝛼| ≤ 10 × ( 9) 𝑛 . 0,5pt PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPETENCES / (04,5 POINTS) Monsieur ESSOH est un homme d’affaire camerounais vivant dans la ville de Douala. Il fondateur d’une entreprise de fabrication de téléphones dans la ville de yaoundé plus precisement au quartier Etoudi. Cette entreprise fabrique une marque de telephone nommée SMARTESS vendu à 200 000 FCFA en moyenne sur le marché. Le coût moyen de production journalier exprimé en million de francs CFA est donnée par la fonction ℎ(𝑥) = ln ( 𝑥+1 3 ) où 𝑥 repesente le nombre de téléphones fabriqués par jour 𝑥 ∈ [0; 55]. Monsieur ESSOH aimerait savoir le montant des frais de publicité en million de FCFA et celui du chiffre d’affaire en millions de FCFA enregistrés au cours des 4 premiers mois dans son emtreprise. Son comptable n’ayant plus des données se rappelle avoir dresser le tableau suivant : les 𝑥𝑖 suivent dans cet ordre une progression arithmétique de raison 3 et les 𝑦𝑖 suivent une progression géeométrique de raison 2. Il se rappelle également que les droites de regression de 𝑦 en 𝑥 et de 𝑥 en 𝑦 ont respectivement pour équation 138𝑥 − 25𝑦 − 540 = 0 ; 6𝑥 − 𝑦 = 24. Il doit se rendre à yaoundé pour une réunion qui se tiendra à la direction générale de son entreprise. Il arrive à l’entrée de ville de yaoundé au lieu dit MVAN il s’arrete dans une station. son véhicule consomme 0,4 litre d’essence par kilomètre et le litre est vendu à 940 FCFA . les differents itinéraires qu’il peut emprunter pour se rendre à la reunion sont ceux d’un réseau routier dégradé, représenté à l’aide du graphe ci-contre, pour lequel les sommets sont des carrefours et les nombres, les distances en Km entre ces carrefours. Tâches 1) Déterminer le montant minimum que doit débourser M. ESSOH pour l’achat de l’essence qui lui permettra de se rendre à la réunion dépuis MVAN. 1,5pt 2) Déterminer le benéfice moyen journalier s’il l’entreprise commercialise tous les télephones fabriqués par jour. 1,5pt 3) Déterminer les modalités 𝑥𝑖 et 𝑦𝑖 de chaque caractère. 1,5pt Frais de publicités 𝑥𝑖 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 Chiffre d’affaire 𝑦𝑖 𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑦4