Mathématiques BAC C-E 2026 — Cameroun

Ministère des Enseignements Secondaires Inspection Générale des Enseignements Inspection de Pédagogie chargée de l’Enseignement des Sciences Section Mathématiques Examen : Baccalauréat Blanc Session : Avril 2026 Épreuve : MATHÉMATIQUES Série/Spécialité : C/E Durée : 4 h Coefficient : 7/6 PARTIE A : EVALUATION DES RESSOURCES 15 points Exercice 1 : 5 points On considère la fonction 𝑓 définie sur [1; +∞[ par 𝑓(𝑥) = 𝑥+1 + ln (𝑥) − ln (𝑥 + 1) et la suite (𝑢𝑛) définie par 𝑢𝑛 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 − ln (𝑛) pour tout entier naturel non nul 𝑛. 1) Calculer la limite de la fonction 𝑓 en +∞. 0,25pt 2) Déterminer la dérivée 𝑓′ de la fonction 𝑓, puis dresser le tableau des variations de 𝑓. 1pt 3) En déduire que pour tout 𝑥 ∈ [1; +∞[, 𝑓(𝑥) < 0. 0,25pt 4) A l’aide d’une intégration par parties, déterminer une primitive 𝐹 de 𝑓 sur [1; +∞[. 0,75pt 5) Pour tout entier naturel non nul 𝑛, montrer que 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 = 𝑓(𝑛), puis en déduire le sens de variation de la suite (𝑢𝑛). 0,5pt 6) Soit 𝑘 entier naturel non nul, montrer que ∫ ( 𝑘 − 𝑥) 𝑑𝑥 ≥ 0, 𝑘+1 𝑘 puis en déduire que ∫ 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 𝑘 . 𝑘+1 𝑘 0,5pt 7) Démontrer que pour tout entier naturel non nul 𝑘, 𝑙𝑛(𝑘 + 1) − 𝑙𝑛 𝑘 ≤ 𝑘. 0,5pt 8) En déduire que pour tout entier naturel non nul 𝑛, 𝑙𝑛(𝑛 + 1) ≤ 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 . 0,75pt 9) En déduire que la suite (𝑢𝑛) est convergente. 0,5pt Exercice 2 : 5 points I. Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct (𝑂; 𝑒1⃗⃗⃗ , 𝑒2⃗⃗⃗ ), on considère le point 𝐹(1 + 𝑖), la droite (𝐷) d’équation 𝑥 = −2 et (𝐸) l’ensemble des points 𝑀(𝑧) tels que |𝑧 − 1 − 𝑖| = √2 4 |𝑧 + 𝑧̅ + 4|. 1) Montrer que la distance du point 𝑀 à la droite (𝐷) est 2 |𝑧 + 𝑧̅ + 4|. 0,5pt 2) En déduire que 𝑀𝜖(𝐸) ⇔ 𝑀𝐹 = √2 2 𝑑(𝑀; (𝐷)). 0,5pt 3) En déduire que (𝐸) est une conique dont on déterminera la nature exacte, le foyer, la directrice et l’excentricité. 1pt II. Un sac contient 8 boules indiscernables au toucher : 3 sont rouges et portent le numéro 2, 3 sont blanches et portent le numéro 3 et 2 sont noires et portent le numéro 4. On tire successivement et sans remise deux boules du sac. On désigne par 𝑎 le numéro de la première boule tirée et par 𝑏 le numéro de la deuxième boule tirée. On considère dans ℤ2 l’équation (𝐸): 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 1 d’inconnue (𝑥; 𝑦), dans ℂ le nombre complexe 𝑀 d’affixe 𝑎 2 𝑒 𝑖 𝑏 16𝜋 et sur ℝ l’équation différentielle (𝐹): 𝑦′′ + 4𝑎𝑦′ + 𝑏2𝑦 = 0. 1) Déterminer la probabilité pour que le point 𝑀 soit le point d’intersection du cercle de centre O et de rayon 2 et la droite d’équation 𝑦 = 𝑥. 0,75pt 2) Déterminer la probabilité pour que 9𝑎 soit un multiple de 𝑏 et que l’équation (𝐸) admettent des solutions dans ℤ2. 0,75pt 3) Déterminer la probabilité pour que l’équation différentielle (𝐹) admette sur ℝ des solutions de la forme 𝑥 ⟼ 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑟𝑥 + 𝛽), 𝐴, 𝑟 et 𝛽 étant des réels. 0,75pt 4) Déterminer la probabilité pour que l’équation différentielle (𝐹) admette sur ℝ des solutions de la forme 𝑥 ⟼ (𝐴𝑥 + 𝐵)𝑒𝑟𝑥 , 𝐴, 𝐵 et 𝑟 étant des réels. 0,75pt Exercice 3 : 5 points Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct (𝑂; 𝑖, 𝑗, 𝑘⃗ ), on considère les points 𝐴(3; 1; 3), 𝐵(1; 2; 7), 𝐶(2; 0; 2), 𝐷(3; −6; 1) et 𝐸(4; −8; −4), la droite (𝑑) passant par le point 𝐹(3; 5; −1) et dirigée par 𝑖 − 2𝑗 + 𝑘⃗ . 1) Montrer que les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 déterminent le plan d’équation 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 4 = 0. 0,75pt 2) Prouver que le point 𝐷 n’appartient pas au plan (𝐴𝐵𝐶). 0,25pt 3) Montrer que la droite (DE) et le plan (𝐴𝐵𝐶) sont parallèles. 0,5pt 4) Déterminer l’expression analytique de la réflexion de plan (𝐴𝐵𝐶). 0,75pt 5) En déduire les coordonnées du point 𝐻 projeté orthogonal de 𝐷 sur le plan (𝐴𝐵𝐶). 0,5pt 6) Donner une représentation paramétrique de la droite (𝑑). 0,5pt 7) L’espace vectoriel ℰ est muni de la base (𝑖, 𝑗, 𝑘⃗ ), 𝜑 est l’endomorphisme de ℰ tel que 𝜑(𝑖) = 3𝑗 − 3𝑘⃗ , 𝜑(𝑗) = 𝑖 + 2𝑗 − 𝑘⃗ et 𝜑(𝑘⃗ ) = 2𝑖 + 𝑗 + 𝑘⃗ . a) Montrer alors que 𝐾𝑒𝑟𝜑, le noyau de 𝜑 est une droite vectorielle dont on déterminera une base. 0,5pt b) Montrer que 𝐼𝑚𝜑, l’image de 𝜑 est un plan vectoriel dont on déterminera une base. 0,75pt c) Déterminer la matrice de 𝜑 dans la base (𝑖 − 2𝑗 + 𝑘⃗ , 𝑖 + 𝑗, 𝑖 + 𝑘⃗ ). 0,5pt PARTIE B : EVALUATION DES COMPETENCES 5 points Situation : Bloum est un entrepreneur agricole. Il a cultivé une variété rentable de maïs pendant 6 années consécutives à partir de 2018. Bloum voudrait produire 13 tonnes de maïs en 2027 afin de s’offrir une fourgonnette de 9 760 000 FCFA avec le revenu de la vente de cette année. Le responsable des ventes de la petite entreprise créée par Bloum a dressé le tableau suivant : Numéro de l’année 1 2 3 4 5 6 Prix du kilogramme en FCFA 400 450 475 500 550 600 Bloum élève des aulacodes dans un terrain qui jouxte le champ de maïs. Une étude menée sur cette population d’aulacodes introduite en 2018, montre que l’effectif exprimé en milliers est 𝑓(𝑡) où 𝑡 est le nombre d’années écoulées après 2018. La population d’aulacodes devient nuisible pour le champ de maïs lorsque leur nombre est supérieur à 0,8𝑚 où 𝑚 est le plus petit des majorants de la fonction 𝑓 avec 𝑓(𝑡) = 8,75𝑒𝑡−6 1+𝑒𝑡−6 + 0,25. Pour diversifier ses activités, Bloum a acquis un nouveau terrain ayant la forme d’un triangle rectangle pour cultiver une variété de mandarines très prisées sur le marché. Sur une carte, les dimensions en hectomètres de ce terrain sont 𝑎, 𝑏 et 6 et le côté le plus long mesure 𝑏 ℎ𝑚. Bloum a engagé Bolum, un ouvrier agricole pour aménager ce terrain pour la culture des mandarines. Bolum est payé à 750 FCFA le mètre carré d’espace aménagé. Tâches : 1) Bloum pourra-t-il acheter cette fourgonnette ? 1,5pt 2) A partir de quelle année les aulacodes seront-ils nuisibles pour la champ de maïs? 1,5pt 3) Combien Bolum va-t-il gagner pour aménager tout ce terrain nouvellement acquis? 1,5pt Présentation : 0,5pt