Mathématiques Probatoire C-E 2024 — Cameroun

---- - .. -Année-scolaire.Z023-2024-----· --1 COLLÈG6lFrançois-Xavier VOGT .... 1 B.P.: 76SYdé --Tél: :-;2231- S4 -28-· \ e-mail: f.ollegevogt@yahoo.fr III Département de Mathématiques SESSION INTENSIVE 1 EPREUVE DE MATHEMÂTlgUES Classe: p.'feIC&CE Durée: 02 heures 45min Situation 6 EXERCICE j~ : (03,5 points) . Le plan est muni du repère orthonormé direct (0, l,]). On considère la fonction 9 définie sur ~ - {2} par g(x) = :~2 et la suite numérique définie par Uo = ~ et pour tout entier naturel n, Un+l = g(Un). 1) .a- Etudier les variations de g, puis dresser son tableau de variation. lpt b- Construire dans le repère la courbe représentative de la fonction g. 0,5pt 2) On considère la suite numérique (vn ) définie pour tout entier~aturel n par-vn =un+b avec bER Un a- Montrer que (vn ) est une géométrique de raison - ~ si et seulement si b = -S. O;5pt 3 . b- Exprimervn , puis Un en fonction de n. O,75pt c-Exprirner en fonction den les sommes S = Vo + 171 + ... + V n et S' = .2:... +.2:... + ... +.2... O,75pt . .~ ~ ~ EXERCICE :z : (03,5 points) L'espace est rapporté au repère orthonormé (0; t,J, k). On donne les points A(1; -1; 2), B(2; 0; -2) et C( -1; 1; 1). Soit la droite (D) de représentation paramétrique r;:;~tt (t E lRt). (S) est l'ensemble des t z = t points M de l'espace de coordonnées (x; y; z) tel que x 2 + y2 + Z2 - 4y + 6z - 3 = O. 1) a- MontrE~r que les points A, B et C ne sont pas alignés. O,75pt b- Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC). 1pt c- Montrt~r que le point d'intersection de la droite (D) avec le plan (ABC) est K(""':"6; 4; 3). 0,5pt _2) . a- Démclntrer q.l:le CS) est une sphère dont on déterminera le centre et le rayon. 0,75pt b- Déterminer la nature et éléments caractéristiques de l'intersection du plan (ABC) avec (S). 0,5pt EXERCICE 3 : (04 points) - ., .Soit Iffi.2 l"~space vectoriel muni de sa base canonique (e;, e;). Une urne contient six boules indiscernables au touché dont deux portent le numéro -1, trois portent le numéro 1 et une porte le numéro 2. On tire de.cetteurne successJ.vement et avec remise trois boules et on obtient les numéros a, b et c dans cet ordre, puis on définit l'application f de Iffi.2 vers Iffi.2 qui à tout vecteur 11 = xe; + ye;" on .... 1-' 1_ {xl = ax + y associe le vecteur v =x el + y ez tel que 1 . b' . .. y = ex + y 1) Montrer que f est un endomorphisme de Iffi.2. _ O,75pt 2) Combien d'endomorphismes peut-on définir tel que a, b ~t e soient deux à deux distincts? 0,5 pt 3) Combien d'automorphismes peut-on définir? 0,5pt 4) On suppose que a = ":"1, b =1 et c = 2. a- Montrer quela matrkeM de f dans la base (e;, ei ) est M = (-;1 i). O,Spt b- Montrer que f est bijective, puis déterminer la matrice N de son application réciproque. .._ 0,5pt c-En déduire Ker(f) et Im(f) respectivement le noyau et l'image de f. O,5pt d- On pose Ul'= ëï: + e; et Uî =e; - e;. • Déterminer la matrice de f dans la base (Ul',U;). 0,75pt EXERCICE 4 : (04 points) Collège François Xavier Vogt .. Session Intensive du 29 Avril 2024 ©2K.B. 1/2 -------A~-lretLso-nt trolsp()-ints n-onalignés dùpfan:-Soittùn nombre r-éel' tel que t E [- ~;~r'- 1) Montrer que pour tout nombre réel t, cos 2 t + sin 2 t + cos 2t = 2 cos 2 t. O/ZSpt 2) Pour tout nombre réelt, on considère les points Gt = bar{(A; cos 2 t), (B; sin 2 t), (C; cos 2t)} et ' E = bar{(A; cos 2 t)i(B; sin 2 t)}. a- Pour quelles valeurs de t, les points Gt existent? O/Spt b- Résoudre sur ]- ~; ~[ l'inéquation cos 2t > O. O/5pt 22, c- -Déterminer le lieu géométrique des points Gt lorsque t décrit l'intervalle [- ~ ;~]. O/Spt 3) On pose G = bar{(A; 1), (B; 3), (C; -2)} et on suppose que ABC est un triangle rectangle et isocèle . en C tel que CA = 4. Soit (T) l'ensemble des points M du plan tel que MA2 + 3MB2 - 2MC2 = 10. a- Montrer que pour tout vecteur 11 et vdu plan, !lU - 1711 2 = IIUII 2 - 211. v+ 111711 2 • ' O,2Spt b- Déterminer et construire l'ensemble (T). lpt c- On considère l'isométrie du plan i = S(CB)otn où S(CB) ettBj{ sont respectivement la symétrie< orthogonale d'axe (CB) et la translation de vecteur M. tonstruire sur la même figun~ le point G' image de G par i, puis déterminer la nature et éléments caractéristiques de i. 1pt Dans une entreprise .de forage, on a interrogé 400 employés sur le nombre d'heures de travail qu'ils ., . effectuent chaque semaine. Les résultats de cette enquête sont représentés par l'histogramme ci-contre. On peut r remarquer que, pour chaque élève, le temps de travail est compris entre 35h et 70h, puis sur chaque bande, on peut consulter la densité exprimée' en employés par unité d'aire (emp/ua). Pour prendre certaines décisions au sein de l'entreprise, le Directeur Général a besoin du nombre d'heures médian de'ses employés. PAUL, un employé de l'entreprise de forage est contacté ~ar un client pollr la réalisation de son puit d'eau. PAUL facture le premier mètre creusé à 2500 FCFA et le prix de chaque mètre supplémentaire est majoré de 500 FCFA par rapport au prix du mètre précédent. PAUL a livré le puit d'eau après avoir atteint une Q profondeur de 22 mètres. . ~ Après plusieurs années de services, PAUL et ' deux de ses collègues décident d'acheter des parcelles de terre avec leurs économies. La levée E:<===========~F~==::=~========-.;. ---;,.~ topographique des trois terrains est représentée 100 m&tJ&S '. par la figure ci-contre où EPF, FQG sont des triangles rectangles isocèles. La parcelle de PAUL est représentée par le triangle PQF tel que la distance PQ soit minimale. TÂCHES. 1) Déterminer le nombre d'heures de travail médian des employés de l'entreprise de forage. 1/Spt 2) Combien le client a-t-il dépensé pour la réalisation de son puit d'eau? 1/Spt 3) Déterminer la position de F par rapport à E pour que la distance PQ soit minimale, 1/Spt • Présenta'tion : O/Spt Collège François Xavier Vogt Session intensive du 29 Avril 2024 ~2K.B. 1/2